مثال على نماذج المخزون :
يقوم أحد مصانع الإنتاج الحربي بإنتاج ما معدله 20000 طلقة ذخيرة للمدافع الرشاشة في الطائرات في الأسبوع ، يتم استهلاك ما معدله 10000 طلقة في الأسبوع تباع إلى جهات أخرى ويستهلك بعضها لأغراض التدريب ويخزن الباقي في مستودعات المصنع . تقدر تكاليف تجهيز المصنع لعملية إنتاج واحدة بحوالي 8000 دولار ، أما تكاليف التخزين الأسبوعية فتقدر بدولار واحد لكل طلقة . ونتيجة للخبرة العملية فقد وجد المصنع أن التكاليف الكلية للاحتفاظ بالمخزون تعتمد على الكمية المنتجة من الطلقات ولذا فهو يرغب بجعل هذه التكاليف أقل ما يمكن . والمطلوب :
أ ـ ما هي الكمية الاقتصادية من الطلقات التي على المصنع أن ينتجها أسبوعياً والتي تجعل التكاليف الكلية للمخزون أقل ما يمكن ؟ ما هي التكلفة الكلية للمخزون المقابلة لذلك ؟
ب ـ أحسـب القيم المثلى لكل من : من طـول فترة الإنتاج الفعلية ـ طول فترة التوقف عن الإنتـاج ـ أعلى مسـتوى للمخزون ـ معدل المخزون طول دورة الإنتاج الكلي ـ عدد مرات الإنتاج في الأسبوع والمقابلة للتكلفة الدنيا للمخزون المشار إليها في ( أ ) .
جـ ـ نتيجة للخبرة والارتفاع في تكاليف المخزون فقد وجدت إدارة المصنع أنه قد يكون من الأنسب لها أن تسمح بوجود عجز . أعد المطلوب في ( ب ) بافتراض أن تكاليف العجز للطلقة / أسـبوع تساوي 0.1 (i) دولار ، (ii)0.5 دولار ، (iii)0.75 دولار.
نماذج صفوف الانتظار (waiting lines models)
ومن أمثلة ذلك صفوف الطلبة في طوابير لإجراء عملية التسجيل ، وصفوف المرضى بانتظار العلاج في المستشفيات والعيادات ، وصفوف الأجهزة المعطوبة بانتظار إصلاحها ... الخ . والفرضيات التي تقوم عليها نماذج الصفوف تتلخص في أن زمن وصول الزبائن ( طلبة ، مرضى ، أجهزة معطوبة ... الخ ) يكون عشوائياً وأن الخدمة تقدم للزبائن ـ بشكل عام ـ بحسب ترتيب وصولهم . وتسمح هذه النماذج بتحديد العدد الأمثل للزبائن الذين يمكن خدمتهم ضمن الطاقة المتوافرة ( عدد الذين يقدمون الخدمات والوقت والأجهزة وغيرها يكون في العادة محدوداً ) والسُبل المثلى لهذه الخدمة .
مثال على صفوف الانتظار :
يوجد على حاملة طائرات مدرج واحد لإقلاع الطائرات . تصل الطائرات إلى هذا المدرج وفقاً لتوزيع بواسون بمعدل 5 طائرات في الساعة ، وقد وجد أن الزمن اللازم لإقلاع طائرة يتبع التوزيع الأساسي بمعدل 15 دقائق للطائرة بافتراض وجود عدد كاف من مواقف الطائرات على الحاملة فالمطلوب :
(i) إيجاد التوزيع الاحتمالي لعدد الطائرات الموجودة على الحاملة بانتظار الإقلاع .
(ii) إيجاد العدد المتوقع للطائرات التي تتواجد على الحاملة والعدد المتوقع للطائرات المقلعة من الحاملة .
(iii) ما هي نسبة الوقت الذي يتوقف فيها المدرج عن العمل ( نسبة الوقت الذي لا توجد فيه أي طائرة على المدرج ) .
(iv) ـ ما هو الزمن المتوقع لانتظار طائرة حتى تنتهي من الإقلاع ؟
ـ ما هو الزمن المتوقع لانتظار طائرة حتى تبدأ بعملية الإقلاع ؟
ـ ما هو احتمال أن تنتهي طائرة من الإقلاع خلال :
أ ـ عشر دقائق على الأكثر .
ب ـ عشر دقائق على الأقل .
(v) لنفرض أن الحاملة ترغب بتقليص المكان المخصص لوقوف الطائرات على متنها . ما هو عدد المواقف التي يجب الاحتفاظ بها بحيث أن 90 % من الطائرات على الأقل ستجد لها موقفاً .
(vi) لنفترض أن قيادة الحاملة قد احتفظت بعشرة مواقف فقط وأن الطائرات التي لا تجد لها موقفاً قد تتعرض لأخطار جسيمة إذا لم تتوفر لها حاملة أخرى للهبوط . فما هي نسبة هذه الطائرات ؟
أساليب المحاكاة (simulation techniques) :
تواجهه الأنظمة أحياناً مشكلات معقدة يصعب إيجاد نموذج ( رياضي ) بسيط لحلها كما هي الحال في النماذج المشار إليها أعلاه . ومن جهة ثانية فإن إجراء التجارب على النظام نفسه يكون في معظم الأحيان صعباً وباهظ التكاليف ويحتوي على شيء من المخاطرة . ونقوم في مثل هذه الحالات بمحاكاة (simulate) المشكلة المطروحة بعمل صورة تماثل الواقع الفعلي لهذه المشكلة دون المساس بالنظام نفسه فمثلاً يمكن محاكاة الحروب أو المناورات العسكرية بعمل نماذج مشابهة تماماً لها من خلال الكمبيوتر وإيجاد الحلول المثلى لها في حالة السلم ( أو حتى في حالة الحرب ) قبل تطبيقها فعلياً .
نظرية القرارات (decision theory)
لا نستطيع في عالمنا الذي نعيش فيه أن نتنبأ بما ستكون عليه مجاري الأمور المستقبلية بالضبط وسنكون بالتالي عاجزين عن اتخاذ قرارات صحيحة بشأن مشكلات المستقبل . ولكننا نحاول في مثل هذه الحالات الوصول إلى حلول تقريبية مبنية على احتمالات ما يمكن أن يقع من حوادث في المستقبل . أما احتمالات الحوادث المستقبلية فيمكن أن تُعطى بناءً على بيانات سابقة أو على خبرة متخذي القرار أو بناءً على أي أسس أخرى . وتتوافر بذلك بعض المعرفة لمتخذي القرار . وبعد تحديد الهدف (objective) يتم تحديد مختلف البدائل (الحلول) الممكنة كما يتم أيضاً تحديد العائد لكل من هذه البدائل وفقاً لمعيار أو معايير معينة ( كمعيار زيادة الربح أو تقليل التكاليف ... الخ ) . ويتم بعدها حساب العوائد المتوقعة للبدائل المختلفة ليُصار إلى اختبار أفضلها وفقاً لهذا المعيار . وتسمى القرارات التي تعتمد على معرفة أو تقدير احتمالات الحوادث " قرارات في حالة " المخاطرة " (decisions under risk) . وهناك أنواع أخرى من القرارات مثل قرارات في حالة عدم التأكد (decisions under uncertainty) وهي قرارات مبنية على عدم المعرفة باحتمالات الحوادث وتعتمد على بعض المعايير الخاصة . وقرارات في حالة التأكد وتعتمد على مقارنة عوائد مختلف البدائل ، ومن ثم اختيار أفضلها وفقاً لمعيار معين .
مثال على نظرية القرارات :
تتكون كتيبة مدرعات من 3 سرايا مهمتها الدفاع عن موقع استراتيجي ، ونتيجة للدراسة التي أجراها كل من قائد الكتيبة ورئيس أركان العمليات توصلوا إلى النتائج التالية . تتكون قوة العدو من لواء مدرع وإذا قام العدو بمهاجمة الكتيبة بغرض احتلال الموقـع الاسـتراتيجي فإن أمامه ثلاث محاور ممكنة يمكنه الهجوم منها هي المحاور ( 1 ) ، ( 2 ) ، ( 3 ) . أما الخيارات ( البدائل ) الممكنة أمام قواد وأركان الكتيبة المدافعة عن الموقع فهي على التوالي :
الخيار الأول : وضع سرية مدرعة مقابل كل من المحاور الثلاث .
الخيار الثاني : وضع سرية مدرعة مقابل المحور ( 1 ) وسريتين مدرعتين مقابل المحور ( 2 ) وترك المحور ( 3 ) فارغاً مع إمكانية تغطية جزئية لهذا المحور من المحورين الآخرين .
الخيار الثالث : وضع سريتين مدرعتين مقابل المحور ( 1 ) وسرية مدرعة مقابل المحور ( 2 ) وترك المحور ( 3 ) لإمكانية تغطيته جزئياً من المحورين الآخرين .
الخيار الرابع : وضع سرية على المحور ( 1 ) وسريتين على المحور ( 3 ) وترك المحور ( 2 ) لتغطية جزئية من المحورين الآخرين .
وعلى ضوء تسليح العدو وعدد قواته وتسليح السرايا الثلاث وعدد القوات فيها فقد تم تقدير الخسائر التي يمكن للكتيبة المدافعة أن تكبدها للعدو على النحو الموضح في الجدول التالي :
محاور تقدم العدو
خيارات الكتيبة المدافعة
المحور (1)
المحور (2)
المحور (3)
الخيار الأول
50 %
من القوات
50 %
من القوات
80 %
من القوات
مثلاً لو اختارت الكتيبة الخيار الأول وتقدم العدو من المحور (1) فإنه سيخسر 50% من قواته وهكذا .
الخيار الثاني
60 %
من القوات
80 %
من القوات
40 %
من القوات
الخيار الثالث
80 %
من القوات
60 %
من القوات
15 %
من القوات
الخيار الرابع
40 %
من القوات
50 %
من القوات
60 %
من القوات
والمطلوب إيجاد الخيار ( القرار ) الأمثل للكتيبة والذي يجعل خسائر العدو أكبر ما يمكن في الحالتين :
أ ـ لا توجد أي معرفة عن احتمالات استخدام العدو لأي من المحاور الثلاث .
ب ـ نتيجة للعمليات الاستخبارتية فقد تم تقدير احتمالات تقدم العدو من كل من المحاور الثلاث على النحو التالي :
20 % للمحور ( 1 ) ، 50 % للمحور ( 2 ) ، 30 % للمحور ( 3 )